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篇1

【關(guān)鍵詞】高考 數(shù)學(xué)歸納法 結(jié)合

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法，是通過有限次的驗(yàn)證、假設(shè)和論證來代替無限次的事例的驗(yàn)證，從而達(dá)到嚴(yán)格證明命題的目的，也就是把從某些特殊情況下歸納出來的規(guī)律，利用遞推的方法，從理論上證明這一規(guī)律的一般性。合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)歸納法的基本原理

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題時(shí)，必須包括下面兩個(gè)步驟：

第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值（如n=1）時(shí)命題成立；

第二步：假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

完成了這兩個(gè)步驟，就可斷定命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。

這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)；第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據(jù)。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟中的假設(shè)（簡(jiǎn)稱歸納假設(shè)）就失去依據(jù)，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。

二、關(guān)于歸納步驟的證明思路

用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵，又在于合理應(yīng)用歸納假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題大致有兩種類型：

（1）能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的。證明這類問題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對(duì)于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中是比較常見的。

（2）不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的。這類命題解題時(shí)，一般通過下面兩種途徑，為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件：（1）先將n=k+1帶入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而證到結(jié)論；（2）利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立P（k）（第k號(hào)命題）與P（k+1）（第k+1號(hào)命題）的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立。對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，特別是在高考大題中的出現(xiàn)概率是比較高的。

學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)歸納法，意味著既掌握了一種證明方法，可以解決很多以前他們解決不了的問題，又開拓了知識(shí)領(lǐng)域。但在利用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，不僅會(huì)遇到各種技巧上的困難，而且即使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧，也常常不能真正理解它的含義。因此，數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。

篇2

【關(guān)鍵詞】數(shù)論；取整函數(shù)；不定方程；奇偶分析；同余

數(shù)論知識(shí)原是數(shù)學(xué)競(jìng)賽內(nèi)容，近年悄然融入到高考數(shù)學(xué)試題之中，先是在選擇填空題中占一席之地，后來登堂入室解答題甚至壓軸題，與數(shù)列、函數(shù)、不等式知識(shí)聯(lián)袂出現(xiàn)，蔚然成為高考數(shù)學(xué)的新熱點(diǎn).這類試題覆蓋面廣、構(gòu)思精巧、難度較大，深入研究這類試題很有必要.本文試圖通過數(shù)論知識(shí)分類，探討此類試題的解題思想與解題方法.1取整函數(shù)

取整函數(shù)也稱為高斯函數(shù)，用符號(hào)[x]表示，定義為不大于x的最大整數(shù)； 取整函數(shù)?？疾榈降闹R(shí)點(diǎn)與性質(zhì)有：

2不定方程

變量取整數(shù)的方程稱為不定方程，不定方程是數(shù)論中一個(gè)十分重要的課題[1].一般多元一次不定方程用輾轉(zhuǎn)相除法.其他不定方程的類型很多，解題大多用到奇偶分析法、因式分解法、分討論法、換元法、構(gòu)造法、無窮遞降法、不等式估計(jì)法、同余法等.不少不定方程求解難度很大，甚至成為世界難題.

例2（2007年高考湖北理科數(shù)學(xué)第21題）已知m，n為正整數(shù)，

綜上，不定方程的解只有n=2，3.

評(píng)注求解不定方程用到了不等式估計(jì)法與分類討論法.第（Ⅲ）題是埃斯柯特問題的一個(gè)特例.我國數(shù)學(xué)家柯召與孫琦曾經(jīng)研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，獲得了較重要的成果[2].

3奇數(shù)與偶數(shù)

4倍數(shù)與余數(shù)

設(shè)a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整數(shù)對(duì)（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科數(shù)學(xué)第22題）已知數(shù)列{an}滿足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.記集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；

（Ⅲ）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意n≥k，an是3的倍數(shù).當(dāng)k=1時(shí)，M中的所有元素都是3的倍數(shù)；如果k>1時(shí)，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍數(shù).類似可得，ak-2，…，a1都是3的倍數(shù)，從而對(duì)任意n≥1，an是3的倍數(shù).因此，M的所有元素都是3的倍數(shù).

（Ⅲ）由于M中的元素都不超過36，由a1≤36，易得a2≤36，類似可得an≤36，其次M中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由an的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，由定義可知，an+1和2an除以9的余數(shù)一樣.

（1）若{an}中有3的倍數(shù)，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍數(shù)，所以an除以9的余數(shù)是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第3項(xiàng)起最多2項(xiàng)，加上前面的2項(xiàng)，最多4項(xiàng).

（2）{an}中沒有3的倍數(shù)，則 an都不是3的倍數(shù)，對(duì)于a3除以9的余數(shù)只能是1，4，7，2，5，8中的一個(gè)，從a3開始an除以9的余數(shù)是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不斷的6項(xiàng)不依次序重復(fù)出現(xiàn)（可能從2，4，8，7，或5開始），從而知除以9的余數(shù)只能是1，2，4，5，7，8且為4的倍數(shù)（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的項(xiàng)加上前面2項(xiàng)最多有8項(xiàng).而a1=1時(shí)，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，項(xiàng)數(shù)為8，所以集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值是8.

評(píng)注第（Ⅲ）題也可以用窮舉法來解，因?yàn)閍1≤36，討論還不算太繁雜.發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的周期性，是解決這一問的關(guān)鍵.討論數(shù)列{an}每一項(xiàng)被9除的余數(shù)，使解題過程化繁為簡(jiǎn).5同余與剩余類

同余的定義：設(shè)m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，則稱a同余于b模m，b是a對(duì)模m的剩余，記作ab（mod m）.剩余類定義：設(shè)m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全體整數(shù)按其對(duì)模m的余數(shù)r（0≤r≤m-1）歸于一類，記為Kr.每一類Kr（r=0，1，2，…，m-1）均稱為模m的剩余類.同一類中任一數(shù)稱為該類中另一數(shù)的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余類.這里常被考查到的結(jié)論有：（1）ab（mod m），bc（mod m）ac（mod m）；（2）ab（mod m），cd（mod m）a+cb+d（mod m）；（4）ab（mod m），cd（mod m）acbd（mod m）.例5（2015年高考江蘇數(shù)學(xué)第23題）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).

（1）寫出f（6）的值；

（2）當(dāng)n≥6時(shí)，寫出f（n）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解（1）根據(jù)題意按a分類計(jì)數(shù)：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13個(gè)，所以，f（6）=13.

綜上所述，結(jié)論對(duì)一切滿足n≥6的正整數(shù)n均成立.

評(píng)注第（2）題按命題者的意愿，要求考生先由不完全歸納法得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，但這樣要求，反而限制了學(xué)生的思維發(fā)散.

從上面的例題可以看到，數(shù)論知識(shí)在高考試題中的滲透比較深，不少題難度比較大.如果從來沒有進(jìn)行過數(shù)論知識(shí)的培訓(xùn)，不了解數(shù)論中的方法與技巧，學(xué)生要想在這些題上拿到高分是很不容易的.因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該注意使用好選修教材《初等數(shù)論》，開闊學(xué)生的視野，做到有備無患.

參考文獻(xiàn)

[1]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998.

[2] 柯召，孫琦.關(guān)于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1962（2）：9-18.

篇3

1.觀察法

觀察法就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項(xiàng)間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通向公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

例1、在數(shù)列{}，{}中且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）。求及，由此猜測(cè){}，{}的通向公式，并證明你的結(jié)論。

解：有題設(shè)條件得，

由此得，

猜測(cè)

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，有以上知結(jié)論成立；

（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立；即，，那么當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，

由（1）（2），可知對(duì)一切正整數(shù)都成立。

點(diǎn)評(píng)：采用數(shù)學(xué)歸納法證明多是理科教學(xué)內(nèi)容，較為容易，好掌握。

2.定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目。

例2、等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，。求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)數(shù)列公差為d（d>0）

a1，a3，a9成等比數(shù)列，

3.利用公式求通項(xiàng)

有些數(shù)列給出的前n項(xiàng)和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。

例3.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=1，（n∈），求的通項(xiàng)公式。

解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時(shí)，==得=3，因此是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。

故= （n≥2），而=1不滿足該式

所以=。

4.構(gòu)造等比數(shù)列法

原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。

例4、已知數(shù)列中，=2，=

（1）求的通項(xiàng)公式。

解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列

整理得：

使之滿足已知條件解得是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，由此得

5.構(gòu)造等差數(shù)列法

數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出。

例5、數(shù)列滿足，首項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：兩邊同除以得

數(shù)列是首項(xiàng)為=1，d=1的等差數(shù)列

故

6.取倒數(shù)法

有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。

例6、已知數(shù)列

解：把原式變形得兩邊同除以得 是首項(xiàng)為-1，d=-1的等差數(shù)列

故

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【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；廣東卷；全國卷；命題；復(fù)習(xí)策略

一、高考數(shù)學(xué)全國卷的命題特點(diǎn)

近年來，高考數(shù)學(xué)全國卷突出主干知識(shí)，全面走進(jìn)新課改，在新課改的影響下，側(cè)重于結(jié)合向量、概率的運(yùn)算；函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等相關(guān)題型的比重越來越大；空間圖形與方程的曲線也成高考的重點(diǎn).數(shù)學(xué)高考的復(fù)習(xí)更傾向于抓住重點(diǎn)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)格，引導(dǎo)學(xué)生從科學(xué)的高度與思維去認(rèn)知試題.考生需要有綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法與學(xué)科能力，能抓住重點(diǎn)并突破創(chuàng)新，分析解決試題的多種方法，尋找最適合的解題方法.高考數(shù)學(xué)全國卷從考生出發(fā)，在平穩(wěn)中考基礎(chǔ)，在題型交匯處考方法，在綜合中考能力與創(chuàng)新，試題充分反映考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.

二、廣東高考數(shù)學(xué)基于全國卷的復(fù)習(xí)策略與建議

1.注重基礎(chǔ)知識(shí)的融會(huì)貫通

高考數(shù)學(xué)全國卷相對(duì)于廣東卷選擇題比例增多，難度增大，但全國卷的選擇題和廣東卷的有著很大區(qū)別，全國卷考查的更深入一些，更注重基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查的內(nèi)容稍微高級(jí)一些，需要知道相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)才能順利解題.

這就要求考生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)理解要到位，懂得融會(huì)貫通.平時(shí)多練習(xí)一些形式變化多樣的選擇題，能夠靈活使用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)的聯(lián)系，把握并適應(yīng)選擇題難度的升高.

2.把握解答題的側(cè)重點(diǎn)，注重知識(shí)的綜合運(yùn)用

廣東卷與全國卷的必做解答題的考點(diǎn)基本保持一致，全國卷在三角和數(shù)列中會(huì)選擇其一進(jìn)行解答題的考察，近年來對(duì)數(shù)列的考察力度逐漸減少，要求考生掌握基本求和與通項(xiàng)，利用相關(guān)算法進(jìn)行數(shù)列求和，三角方面不會(huì)脫離三角函數(shù)的知識(shí).

高考數(shù)學(xué)廣東卷沒有涉及概率內(nèi)容，而全國卷的概率解答題一直作為必考題出現(xiàn).16年的考生應(yīng)注意概率大題的計(jì)算與運(yùn)用，克服自己的概率題的障礙，平時(shí)多思考，注重生活實(shí)際概率問題的解決.

解析幾何和函數(shù)綜合是廣東卷與全國卷共同的壓軸題，難度也幾乎一致.

全國卷的題型相對(duì)具有典型性，比如圓錐曲線最值問題，需要進(jìn)行分類討論.全國卷圓錐曲線占比增大，廣東考生應(yīng)注意備考時(shí)加強(qiáng)圓錐曲線題型的訓(xùn)練，彌補(bǔ)在圓錐曲線綜合知識(shí)上的空缺與不足.

高考數(shù)學(xué)全國卷注重基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)綜合創(chuàng)新能力的應(yīng)用，考察考生的解決問題的綜合能力.例如15年高考數(shù)學(xué)全國卷理科（24）題，結(jié)合了幾何向量、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的知識(shí)，意在考察考生的交匯點(diǎn)知識(shí)綜合運(yùn)用能力.這種命題模型將會(huì)成為今后的穩(wěn)定的考察方向.

3.注意選做題解題形式，強(qiáng)化思維與邏輯

廣東考生需要注意的是選做題由2選1變成3選1，全國卷不等式成為必做題，分值的比例也有所增加.考生應(yīng)把握不等式選講的學(xué)習(xí)，增加選修課程的熟悉度.

全國卷的選做題變成3選1，題目與內(nèi)容都相對(duì)增加，要求廣東考生注意時(shí)間的把握， 建議考試在備考時(shí)對(duì)自己的學(xué)習(xí)情況有一個(gè)整體的認(rèn)知與分析，將試題類型按照自己的擅長(zhǎng)做出一個(gè)排序，防止浪費(fèi)大量的解答時(shí)間.

將數(shù)學(xué)的抽象與邏輯進(jìn)行數(shù)和形的角度觀察與歸納，通過演繹證明、空間想象等思維方法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的分析與推理是近年來全國卷數(shù)學(xué)的主要特征之一.

全國的考題中證明題需要嚴(yán)格的步驟與過程，體現(xiàn)著學(xué)生的平面幾何知識(shí)基礎(chǔ)的運(yùn)用.要求廣東考生平時(shí)加強(qiáng)邏輯演繹過程的訓(xùn)練，側(cè)重于知識(shí)的梳理，進(jìn)行反證法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推理證明，加強(qiáng)嚴(yán)密的邏輯思維與證明步驟.證明題中考生應(yīng)注意輔助解答，不能忽視作圖輔助與條件表達(dá)，防止不必要的丟分.

建議廣東考生平時(shí)強(qiáng)化理性思維，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的系統(tǒng)訓(xùn)練，加強(qiáng)對(duì)于邏輯題目結(jié)構(gòu)的探索，找到適用于自己的一套邏輯解題模式.

4.注重知識(shí)積累與拓展，結(jié)合生活實(shí)際

全國卷題量大，要求考生在備考時(shí)鍛煉做題速度，基于常規(guī)與基礎(chǔ)進(jìn)行務(wù)實(shí)的復(fù)習(xí)，雖然考察的都是基礎(chǔ)知識(shí)，但全國卷注重在題型中滲透新思維與知識(shí)交匯，建議廣東考生注重積累知識(shí)，查缺補(bǔ)漏，進(jìn)行反復(fù)研究與拓展訓(xùn)練，對(duì)題型的規(guī)律與特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，制定自己的解題策略，合理的分配時(shí)間.

全國卷近年來將試題融入實(shí)際性問題，綜合考察學(xué)生的實(shí)踐能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這是近年來數(shù)學(xué)高考的探索與改革趨勢(shì).高考數(shù)學(xué)全國卷保證了考查的重點(diǎn)，也同時(shí)兼顧了試卷的深度與創(chuàng)新度，使試卷不僅具有穩(wěn)定性，還注重考查雙基和學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，同時(shí)反映了學(xué)生個(gè)性品質(zhì)特點(diǎn).

2014年高考數(shù)學(xué)全國卷理科（18）題，主要考查事件的概率、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用考查，要求學(xué)生具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與綜合能力.又例如2012年高考數(shù)學(xué)全國卷理科（19）題，側(cè)重于考生的實(shí)踐能力的考查：乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.考查的是相關(guān)比賽概率的具體計(jì)算與探究.建議廣東考生平時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際生活的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)知識(shí)融入到日常生活，解決實(shí)際問題，這樣更有利于對(duì)全國卷實(shí)際應(yīng)用解答型的把握.

【參考文獻(xiàn)】

篇5

一、圓錐曲線與方程

對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略．如：（1）在求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決；（3）在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；（2）有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理來解決；（3）有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算．這部分考查的重點(diǎn)是拋物線．

【例1】如圖，已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準(zhǔn)線為l，N為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，再分別過A,B兩點(diǎn)作l的垂線，垂足分別為C,D．(1)求證：直線AB必經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)若ACN,BDN,ANB的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

溫馨提醒：在復(fù)習(xí)這部分時(shí)，通常遇到的題目解法較多（即入口較寬）時(shí)，要注意擇優(yōu)．其實(shí)在處理解析幾何題時(shí)，同學(xué)們主要是在“算”上的功夫不夠．所謂“算”，主要講的是算理和算法．算法是解決問題采用的計(jì)算的方法，而算理是采用這種算法的依據(jù)和原因．我們要注意培養(yǎng)自己的計(jì)算能力．

二、空間向量與立體幾何

可以這樣說：“只要建立了空間直角坐標(biāo)系，剩下的便是運(yùn)算了．”應(yīng)用空間向量解決立體幾何問題一般包括以下題型：解決空間平行與垂直、空間角度與距離問題．

【例2】如圖，直三棱柱A1B1C1－ABC中， C1C=CB=CA=2，ACCB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)E到平面ADB的距離；

（2）求二面角E－A1D－B的平面角的余弦值；

（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF平面A1DB？若存在，

確定其位置；若不存在，說明理由.

溫馨提醒：

利用空間向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是要能熟練掌握如何用空間向量來表示各種位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，落腳點(diǎn)就在向量運(yùn)算上.

三、數(shù)學(xué)歸納法

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是n=k+1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題．

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等．

【例3】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝a2n＋a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．

（1）當(dāng)a∈（－∞，－2）時(shí)，求證：aM；

（2）當(dāng)a∈（0，14］時(shí)，求證：a∈M；

（3）當(dāng)a∈（14，＋∞）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【證明】（1）如果a2，aM．

（2） 當(dāng) 0

事實(shí)上，當(dāng)n=1時(shí)，|a1|=|a|≤12．此時(shí)a∈M

設(shè)n=k－1時(shí)成立（k≥2為某整數(shù)），即|ak－1|≤12，

則對(duì)n=k，|ak|≤|ak－1|2+a≤(12)2+14=12．

由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．

（3） 當(dāng)a>14時(shí)，aM．證明如下：

對(duì)于任意n≥1，an>a>14，且an+1=a2n+a．

對(duì)于任意n≥1，an+1－an=a2n－an+a=(an－12)2+a－14≥a－14，

則an+1－an≥a－14．所以，an+1－a=an+1－a1≥n(a－14)．

當(dāng)n>2－aa－14時(shí)，an+1≥n(a－14)+a>2－a+a=2，即an+1>2，因此aM．

溫馨提醒：數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法．兩個(gè)步驟缺一不可，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”．第二步中歸納假設(shè)起著已知條件的作用，在n=k+1時(shí)一定要用到它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法，第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”．

四、排列組合、二項(xiàng)式定理

對(duì)于排列組合、二項(xiàng)式定理的綜合問題的考查，主要是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問題，以其他章節(jié)知識(shí)為背景，考查同學(xué)們運(yùn)用多種知識(shí)處理問題的綜合能力．

【例4】設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=C3m2m+3?A1m－2，公比q是(x+14x2)4的展開式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列）．（1）用n,x表示通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；

（2）若An=C1nS1+C2nS2+…+CnnSn，用n,x表示An．

溫馨提醒：由于這部分內(nèi)容的課時(shí)較少，一般是將排列組合、二項(xiàng)式定理融入到導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)歸納法，概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容中去，所以同學(xué)們要注意這類交匯型問題.

五、概率統(tǒng)計(jì)

【例5】在1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)．

（1）求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率；

（2）求這3個(gè)數(shù)和為18的概率；

（3）設(shè)ζ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時(shí)ζ的值是2）．求隨機(jī)變量ζ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eζ．

【解】（1）記“這3個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，

則P（A）=C14C25+C24C15+C34C05C39=3742；

（2）記“這3個(gè)數(shù)之和為18”為事件B,考慮三數(shù)由大到小排列后的中間數(shù)只有可能為5、6、7、8，分別為459，567，468，369，279，378，189七種情況，所以P(B)=7C39=112；

（3）隨機(jī)變量ζ的取值為0,1,2,ζ的分布列為

ζ012

P51212112

ζ的數(shù)學(xué)期望為Eζ=0×512+1×12+2×112=23．

篇6

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)觀察；觀察角度；智慧

從信息加工的角度看，數(shù)學(xué)活動(dòng)中的觀察就是有目的、有選擇地對(duì)各種數(shù)學(xué)材料進(jìn)行概括的知覺過程，其成果就是數(shù)學(xué)材料的外部特征和整體特征。在數(shù)學(xué)考試中，如何贏得充裕的解答時(shí)間，是每位同學(xué)的共同愿望。實(shí)際上，有不少同學(xué)為了爭(zhēng)取時(shí)間，一拿到試卷就做，有時(shí)已知條件都沒有看清，反而浪費(fèi)了時(shí)間。其實(shí)在解題過程中先觀察一下，花少量的時(shí)間認(rèn)真審題，看清條件和結(jié)論，說不定會(huì)有一些意想不到的發(fā)現(xiàn)。

但是，每個(gè)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、個(gè)性特點(diǎn)均不相同，因而觀察的效果也不相同。在觀察過程中，有的學(xué)生觀察只憑興趣，抓不住重點(diǎn)；有的走馬觀花；有的草率急躁；還有的觀察不夠全面；同時(shí)為了保證解題的準(zhǔn)確率和速度，觀察必須是一個(gè)有序的思維過程，不能是雜亂無章的，否則，觀察就會(huì)起到負(fù)面作用。所以在教學(xué)過程中，非常有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察習(xí)慣，找到合適的觀察角度。

一、整體局部觀察

由于學(xué)生的知識(shí)水平有限，往往在觀察的過程中只注意到問題的一個(gè)方面而忽視整體，從而無從下手。所以要教育學(xué)生從整體與部分的角度進(jìn)行觀察，在把握整體特征的同時(shí)也要注意局部所具有的特點(diǎn)。從整體中看部分，在部分中把握整體，只有這兩方面都考慮全面，才能抓住問題的關(guān)鍵。

二、特殊數(shù)值觀察

有些數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)含的性質(zhì)比較隱蔽，如果稍加分析，便會(huì)發(fā)現(xiàn)一些特征，尤其是一些特別的數(shù)值，對(duì)解題具有一定的導(dǎo)向作用，所以要善于觀察，從數(shù)字之間的聯(lián)系去尋找解題的思路。

三、特殊結(jié)構(gòu)觀察

有些數(shù)學(xué)問題中的結(jié)構(gòu)其實(shí)隱含著某種特殊的關(guān)系，善于觀察并加以聯(lián)想，從而實(shí)施轉(zhuǎn)換，找到解決問題的方法。

四、猜想觀察

數(shù)學(xué)中的某些問題，一時(shí)看不出它具有哪些特征，或者很難找到解決問題的辦法，此時(shí)，我們常常通過觀察，從而獲得猜測(cè)，然后對(duì)其正確性進(jìn)行推斷，達(dá)到解決問題的目的。像在數(shù)列運(yùn)算中，在求數(shù)列解析式的時(shí)候經(jīng)常會(huì)先猜想再利用數(shù)學(xué)歸納法去證明。

上面的思路對(duì)思維和變形的要求比較高，如果變形的方向不正確就很難達(dá)到最終的結(jié)果。所以我們還可以按觀察并猜想的方法。

第（3）小題也可以利用數(shù)學(xué)歸納法。利用思路2，就將過程轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的公式變形，使難度大大降低。

當(dāng)然在數(shù)學(xué)解題的過程中，通過不同的觀察方法，可以得到有效的解題途徑。我們需要將觀察與思維有效地結(jié)合起來，注意觀察的目的性和條理性，從而不斷地地提高觀察的準(zhǔn)確性和全面性，當(dāng)遇到類似問題的時(shí)候，就可以達(dá)到舉一反三的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮寅.數(shù)學(xué)解題中的六大觀察法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：高中，2002（3）.

[2]李永誠.慧眼巧解題[J].內(nèi)蒙古教育，2008（6）.

篇7

關(guān)鍵詞：新課程，職高高考，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

 

職業(yè)高中的對(duì)口高考已越來越多的被社會(huì)、被政府、被學(xué)生和學(xué)生家長(zhǎng)所認(rèn)識(shí)、所認(rèn)可,并成為各職業(yè)中學(xué)學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)深造的平臺(tái)，成為推進(jìn)學(xué)?？焖侔l(fā)展的“風(fēng)火輪”。而就職業(yè)高中高考的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)來說, 對(duì)不少高考考生認(rèn)為，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是難過的一道檻兒，知識(shí)綜合性強(qiáng)，涉及范圍廣, 使許多同學(xué)感到既畏懼，又無從下手，甚至認(rèn)為自己不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的料。那么新課程理念下如何提高職業(yè)高中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率呢？筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),提出幾點(diǎn)建議, 旨在拋磚引玉，希望各位舉一反三。，職高高考。

一、吃透考試大綱, 夯實(shí)基礎(chǔ)

《考試大綱》其實(shí)對(duì)于我們每個(gè)人來說都不陌生，從學(xué)生時(shí)代起就對(duì)《考試大綱》有所了解，簡(jiǎn)單地說,《考試大綱》就是對(duì)考什么，怎么考，重點(diǎn)是什么；答什么，怎么答等問題的具體規(guī)定和解說。所以我建議同學(xué)們也應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)《考試大綱》，依綱復(fù)習(xí)，必能抓住重點(diǎn)，少走彎路。其中, 廣東省職業(yè)學(xué)校對(duì)口升學(xué)考試數(shù)學(xué)《考試大綱》指出：'今后的教學(xué)和復(fù)習(xí)中首先要切實(shí)抓好基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí),并在此基礎(chǔ)上, 強(qiáng)調(diào)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注意從學(xué)科的整體高度出發(fā)，立足于數(shù)學(xué)學(xué)科，夯實(shí)基礎(chǔ)，要求考生能

確定概念與結(jié)論的類型，把握中心概念，注重各部分知識(shí)的綜合性、相互聯(lián)系及在各自

發(fā)展過程中各部分知識(shí)間的縱向聯(lián)系 ，自主梳理出主干知識(shí)，對(duì)主干知識(shí)要強(qiáng)化記憶，加深

理解，做到微觀上記憶清晰，宏觀上脈絡(luò)清楚。

綜觀這兩年廣東省的對(duì)口高考數(shù)學(xué)試題，總體來說難度不大，沒有偏難怪題出現(xiàn)，沒超過該考綱，試題設(shè)置較為科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，題目分布情況也比較合理。因此,我們更要關(guān)心對(duì)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》中規(guī)定知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)面, 注重知識(shí)的橫向比較和縱向聯(lián)系，注重理論聯(lián)系實(shí)際，發(fā)現(xiàn)命題中圖形，數(shù)表和數(shù)列、周期性變化等變化規(guī)律。同時(shí),應(yīng)該關(guān)注廣東省職業(yè)學(xué)校對(duì)口升學(xué)考試數(shù)學(xué)新課程改革的進(jìn)程,了解新課程改革后的新高考方案，考試內(nèi)容和考試模式等; 注意將新

課程教材中的新思想、新精神、新成果滲透到原有課程的教學(xué)中,只有這樣, 才能少走彎路，少做或不做無用功。

二、掌握題型，注意知識(shí)歸類與題型的積累

歸類復(fù)習(xí)是教與學(xué)的過程中一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，歸類就是把每項(xiàng)的具體商品按其特性歸在一處復(fù)習(xí)，概念是歸類復(fù)習(xí)中最常用的一種教學(xué)方式，目的是運(yùn)用歸類比較有利于學(xué)生把同類概念聯(lián)系起來，又把它們區(qū)別開來，使學(xué)生明確概念的外延從而加深對(duì)概念內(nèi)涵的理解，從而靈活運(yùn)用所學(xué)概念解決實(shí)際問題，而運(yùn)用概念的過程又是深化理解概念的過程，可使學(xué)生更深刻地理解概念的含義，而對(duì)各判定公理及判定定理之間的歸類，則有利于尋找空間中幾何元素的位置關(guān)系，解決實(shí)物和幾何之間的內(nèi)在的聯(lián)系，憑借

直覺思維，在想象實(shí)物和幾何體之間的關(guān)系中尋得答案，例如：在考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì)時(shí)可沿以下：這條路線歸納證題思路：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行．用轉(zhuǎn)化的方法掌握應(yīng)用

直線與平面平行的性質(zhì)定理，即由線面平行可推得線線平行，通過線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化提高化歸轉(zhuǎn)化能力。這環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生引入一個(gè)又一個(gè)“憤”與“悱”的境地，使得學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，理清思路，制訂合理的解題策略。因此，教學(xué)時(shí)教師一定要有針對(duì)性地選好題型，利用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去掌握這些概念、定理之間內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，只有如此學(xué)生才能使學(xué)生掌握一定的條

理性和規(guī)律性，才會(huì)對(duì)公式、定理和規(guī)則熟悉，解題速度自然就越快。

再有，在立體幾何的復(fù)習(xí)中，要通讀教材，初步把握教材的基本內(nèi)容及編寫意圖后，教師要深入研讀教材，系統(tǒng)整理課本中的基本概念、基本方法和基本定理，針對(duì)考題特點(diǎn)，講析應(yīng)對(duì)策略、復(fù)習(xí)方法、規(guī)律步驟，引導(dǎo)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的教材中加以歸納和總結(jié)，只有這樣，才能起到自我體驗(yàn)、自我感悟、自我教育的目的。

三、狠抓基礎(chǔ)知識(shí)，夯實(shí)教育教學(xué)基本功

扎扎實(shí)實(shí)地學(xué)好了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能, 是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和基礎(chǔ)，是提高對(duì)口高考數(shù)學(xué)優(yōu)異成績(jī)的根本途徑。最近，國家教育部公布的信息顯示,考生由于概念不清楚、公式錯(cuò)用、張冠李戴而失分的情況十分嚴(yán)重。因此，數(shù)學(xué)考試的形式不管如何變化,在任何情況下,都要清醒地認(rèn)識(shí)到自身的差距和不足，扎扎實(shí)實(shí)、認(rèn)認(rèn)真真夯好基礎(chǔ), 切切實(shí)實(shí)把好數(shù)學(xué)的基本功，平時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)管理，掌握全校數(shù)學(xué)教學(xué)狀況，在校園創(chuàng)設(shè)濃濃的數(shù)學(xué)氛，這是職業(yè)高中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中最關(guān)鍵的因素。

1、那么如何切切實(shí)實(shí)抓好數(shù)學(xué)的基本功呢。首先狠抓審題，突出重點(diǎn)，加強(qiáng)訓(xùn)練。數(shù)學(xué)是用形式化的符號(hào)語言反應(yīng)數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科,其符號(hào)通常表示的不是學(xué)生熟悉的生活空間,而是一個(gè)廣義的概念，它的確定給符號(hào)確定了目標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)。因此,只有對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握, 才能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言的理解能力。，職高高考。，職高高考。在職業(yè)高中高考數(shù)學(xué)中, 通過對(duì)信息內(nèi)容的自動(dòng)分析，

探尋解題的突破口，以確定解題的思路、方案和途徑,是十分重要的。

如何能利用有限的時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生的審題能力呢，筆者認(rèn)為, 審題意識(shí)的提高和

審題習(xí)慣的培養(yǎng)既需要教師潛移默化的熏陶,也需要著意進(jìn)行訓(xùn)練。因此，教學(xué)中,要首先應(yīng)有意識(shí)引導(dǎo)

學(xué)生審題，可以適當(dāng)做一些審題訓(xùn)練，以提高學(xué)生的審題能力，逐步做到對(duì)試題瀏覽一到兩遍，做到胸有全局，以穩(wěn)定情緒、增強(qiáng)信心, 學(xué)生自己能讀懂題意，分析題意是一種不可缺少的能力，而教師正面地給學(xué)生講原理，對(duì)如何讀題,審題可以作一些提示，但絕不能代替學(xué)生的思維;同時(shí)教師必須為學(xué)生提供審題的機(jī)會(huì)，為學(xué)生留有思考的時(shí)間和空間。，職高高考。

2、加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)。從近幾年的廣東省職業(yè)學(xué)校對(duì)口升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷來看,雖然考題型基本一致，難度大致相當(dāng),但，運(yùn)算量的逐年增加，對(duì)計(jì)算的要求

越來越高，這就造成很多同學(xué)解題上很大的障礙,看來只有平時(shí)多多訓(xùn)練，在對(duì)口高考中才會(huì)輕松。運(yùn)算能力的強(qiáng)弱主要表現(xiàn)在運(yùn)算的正確與否和速度的快慢上,是獲得了解題的突破口之后,在基本概念、主要公式、運(yùn)算法則的指導(dǎo)下, 對(duì)言語提供的事實(shí)運(yùn)用演繹推理

進(jìn)行解釋，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑, 提高運(yùn)算的合理性與簡(jiǎn)捷性的整個(gè)過程。

3、數(shù)形結(jié)合能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，數(shù)形

結(jié)合的思想方法是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一,其相應(yīng)的能力包括識(shí)圖能力、空間想象和思維能力、構(gòu)造圖形的能力等。識(shí)圖能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最基本最重要的能力，能夠熟練準(zhǔn)確地識(shí)圖用圖，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至

終身發(fā)展都是有益的。在職業(yè)高中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,我們要將基本功訓(xùn)練，提高和展示，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和創(chuàng)作活動(dòng)擺到十分重要的位置上,因?yàn)檫@是職業(yè)高中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要方向。

四、引導(dǎo)學(xué)生重視錯(cuò)題，挖掘錯(cuò)題的功能，用好錯(cuò)題資源

職三的復(fù)習(xí), 各類“仿真”“模擬”試卷要做上幾十套，基本上涵蓋了高考的整個(gè)內(nèi)容。而在做的過程中, 記錄著

學(xué)習(xí)中這樣或那樣的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤 ,是指把平時(shí)練習(xí)中的問題歸納、總結(jié)并收集起來。職三的復(fù)習(xí)中，有的同學(xué)做題只重?cái)?shù)量而不重質(zhì)量的做題方式，完全是題海戰(zhàn)術(shù)，做過后從來不注重總結(jié)出題規(guī)律

和自己的薄弱環(huán)節(jié)，這樣不僅要占用學(xué)生大量的時(shí)間，而且對(duì)學(xué)生身體的負(fù)擔(dān)

也很大。做題的目的是鞏固和消化學(xué)習(xí)成果，培養(yǎng)和鍛煉分析問題和

解決問題的能力，是克服自己的弱點(diǎn)和不足的有效手段。俗話說“失敗者成功之母”， 最核心的，最好的經(jīng)驗(yàn)，都是從失敗，錯(cuò)誤的實(shí)踐中總結(jié)出來的，因此，自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因并及時(shí)改正，有助于以后不再犯類似的錯(cuò)誤。假如平時(shí)做題出錯(cuò)較多，就只需把平時(shí)作業(yè)及考試中做錯(cuò)的典型性錯(cuò)誤找出來，把錯(cuò)誤的習(xí)題從試卷上“剪切”下來，在旁邊寫上評(píng)析，然后保存好，每過一段時(shí)間，看一看。這樣

才能及時(shí)查漏補(bǔ)缺，對(duì)癥下藥，及時(shí)搬掉“攔路虎”，及時(shí)予以補(bǔ)救。，職高高考。除了把不同的題目弄懂以外，還要

注意對(duì)自己不會(huì)的題型進(jìn)行突破，向老師求教解題技巧，并做一些強(qiáng)化訓(xùn)練，注意一題多解(方法的發(fā)散)，多題一解(方法的歸類，舉一反三)，及時(shí)回納。

結(jié)束語：

總之,在職業(yè)學(xué)校對(duì)口升學(xué)考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,我們要樹立正確的世界觀，人生觀,牢固確立確立學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主體地位, 堅(jiān)持在教師的點(diǎn)撥下學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換到充分發(fā)揮自主意識(shí)進(jìn)行自能學(xué)習(xí)的軌道上來, 使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)高考、體驗(yàn)高考、磨煉意志和提高自身素質(zhì)，以提高高職學(xué)生自身的應(yīng)試能力。，職高高考。同時(shí)教師要想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)情境，把學(xué)生的心理調(diào)節(jié)到最佳狀態(tài), 激發(fā)參與意識(shí)，使學(xué)生樂于參與,在職業(yè)學(xué)校對(duì)口升學(xué)考試中創(chuàng)造出優(yōu)異的成績(jī)。

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篇8

關(guān)鍵詞：探索性問題；教學(xué)策略；解題思路

為了培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)工具描述和處理自然界和社會(huì)中的某些現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并且提供進(jìn)行探索和研究的渠道和廣闊的空間，新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)和考試評(píng)價(jià)中出現(xiàn)了一些新題型． 它們具有以下一些特征：①給出題設(shè)條件，但題目結(jié)論未指明，或者只給出結(jié)論范圍，要解題者自己作出判斷和選擇；②題目給出結(jié)論，但條件殘缺，或不給出條件，要求給出或補(bǔ)充使題目結(jié)論成立的條件；③給出一些特殊情況，要求歸納、猜測(cè)一般結(jié)論并給出證明；④先給出一個(gè)封閉性的問題，改變題設(shè)條件或結(jié)論，討論其結(jié)論或條件將發(fā)生怎樣的變化；⑤條件結(jié)論都知道，解題需要經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、歸納、猜測(cè)的探索過程等． 它們區(qū)別于封閉性的數(shù)學(xué)問題，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，人們稱之為數(shù)學(xué)探索性問題． 由于探索性問題具有較強(qiáng)的趣味性、較大的靈活性和較深的隱蔽性，加之其問題背景新穎、解法靈活多變，故能很好地考查學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等思維能力，特別是運(yùn)用知識(shí)方法分析和解決問題的創(chuàng)新能力． 從近幾年全國及各省市高考自主命題中我們不難發(fā)現(xiàn)：探索性問題呈逐年上升的趨勢(shì)． 但是由于探索性問題的求解缺乏現(xiàn)成的套路和方法，解題的思考方向有很大的不確定性，且內(nèi)容廣泛、形式多樣，給學(xué)生解題帶來一定困難． 因此，有效指導(dǎo)學(xué)生探究解決探索性問題有利于激活學(xué)生思維，提高問題解決能力，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)．

指導(dǎo)方法，尋找學(xué)習(xí)的鑰匙

“未來的文盲不再是不識(shí)字的人，而是沒有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人”，這充分說明了學(xué)習(xí)方法的重要性，它是獲取知識(shí)的金鑰匙．學(xué)生一旦掌握了學(xué)習(xí)方法，就能自己打開知識(shí)寶庫的大門． 因此我們要改進(jìn)課堂教學(xué)，不但要幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)”，更要指導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”． 在教學(xué)中，筆者主要在讀、議、思等幾個(gè)方面給予指導(dǎo)．

1． 教會(huì)學(xué)生“讀”． 這主要用來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力和歸納整理問題的能力． 我們知道，數(shù)學(xué)觀察力是一種有目的、有選擇的對(duì)數(shù)學(xué)材料的知覺能力． 教會(huì)學(xué)生閱讀，就是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)材料的直觀判斷力，這種判斷包括對(duì)數(shù)學(xué)材料的深層次、隱含的內(nèi)部關(guān)系的實(shí)質(zhì)和重點(diǎn)，逐步學(xué)會(huì)歸納整理，善于抓住重點(diǎn)以及圍繞重點(diǎn)思考問題的方法． 這在預(yù)習(xí)和課外自學(xué)中尤為重要．

2． 鼓勵(lì)學(xué)生“議”． 在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，對(duì)于那些容易混淆的概念，沒有把握的結(jié)論、疑問，就積極引導(dǎo)學(xué)生議，真理愈辯愈明，疑點(diǎn)愈理愈清． 對(duì)于學(xué)生在議中出現(xiàn)的差錯(cuò)、不足，教師要耐心引導(dǎo)，幫助他們逐步得到正確的結(jié)論．

3． 引導(dǎo)學(xué)生勤“思”． 從某種意義上來說，思考尤為重要，它是學(xué)生對(duì)問題認(rèn)識(shí)的深化和提高的過程． 養(yǎng)成反思的習(xí)慣，反思自己的思維過程，反思知識(shí)點(diǎn)和解題技巧，反思各種方法的優(yōu)劣，反思各種知識(shí)的縱橫聯(lián)系，適時(shí)地組織引導(dǎo)學(xué)生展開想象：題設(shè)條件能否減弱?結(jié)論能否加強(qiáng)？問題能否推廣？等等．

鼓勵(lì)質(zhì)疑，讓學(xué)生學(xué)有創(chuàng)見

我們會(huì)經(jīng)常遇到這樣的情況：有的學(xué)生在解完一道題時(shí)，總是想問老師或找些權(quán)威的書籍，來驗(yàn)證其結(jié)論的正確． 這是一種不自信的表現(xiàn)，他們對(duì)權(quán)威的結(jié)論從沒有質(zhì)疑，更談不上創(chuàng)新． 長(zhǎng)此以往的結(jié)果，他們只能變成唯有書本是真理的“書呆子”． 中學(xué)階段，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生相信自己，敢于懷疑的精神，甚至應(yīng)該養(yǎng)成向權(quán)威挑戰(zhàn)的習(xí)慣，這對(duì)他們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)，特別是今后的探索和研究尤為重要． 如果真找出“權(quán)威”的錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生來講也是莫大的鼓舞． 例如：拋物線y2=2px的一條弦直線是y=2x+5，且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求此拋物線方程． 某教師答案特意寫成如下形式：

由y=2x+5，y2=2px得：4x2+（20-2p）x+25=0①．

由x1+x2==4得p=18，故所求拋物線方程為y2=36x．

然后讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑：把p=18代入方程①，方程無實(shí)解；或方程①要有Δ=4p（p－20）>0，即p20，故p=18不合題意． 本題無解．

教學(xué)中，對(duì)這樣的新發(fā)現(xiàn)、巧思妙解及時(shí)褒獎(jiǎng)、推廣，能激起他們不斷進(jìn)取、努力鉆研的熱情． 而且筆者認(rèn)為，質(zhì)疑教學(xué)，對(duì)學(xué)生今后獨(dú)立創(chuàng)造數(shù)學(xué)新成果很有幫助，也是數(shù)學(xué)探索能力的一個(gè)重要方面． 教師還要深入分析并把握知識(shí)間的聯(lián)系，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，依據(jù)思維規(guī)律，提出恰當(dāng)?shù)母挥趩l(fā)性的問題，去啟迪和引導(dǎo)學(xué)生積極思維． 同時(shí)采用多種方法，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、分析、猜想、歸納、類比、聯(lián)想等思想方法，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．

教師還要引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，重視發(fā)散思維，鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異，大膽探索． 例如，已知點(diǎn)P（x，y）是圓（x－3）2+（y－4）2=1上的點(diǎn)，求的最大值和最小值． 本題用參數(shù)方程或直接利用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，解決較煩瑣． 此時(shí)應(yīng)打破常規(guī)，恰當(dāng)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合． 設(shè)k=，問題變?yōu)榍笾本€y=kx的斜率的最大值和最小值問題，再進(jìn)一步引導(dǎo)，求的最大值和最小值問題，可把定點(diǎn)分圓上、圓內(nèi)、圓外幾種情況進(jìn)行討論，由此可使學(xué)生對(duì)求之類的數(shù)的最大值、最小值問題的幾何意義有更深入的了解． 因此，教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且要鼓勵(lì)創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)．

因題施教，培養(yǎng)問題解決能力

1． 對(duì)存在型探索性問題的教學(xué)． 這類問題一般具有上述①②④特征，通常討論的是在給定的題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象或成立某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的問題，具體提法常常是某個(gè)數(shù)學(xué)事物或某種特征是否存在，若存在求出這個(gè)事物或特征，若不存在請(qǐng)說明理由． 解這類問題的基本策略是：先假設(shè)所探求的對(duì)象存在或結(jié)論成立，以假設(shè)為前提進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若推出矛盾則假設(shè)不成立，從而得到否定的結(jié)論，即不存在；相反則存在，事實(shí)上是借用反證法的思路．

例1 已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上移動(dòng)，且==，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖1），是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的位置及此定值，請(qǐng)說明理由．

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值．

解：按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）．

設(shè)===k（0≤k≤1）．

由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak），直線OF的方程為：2ax+（2k－1）y=0①．

直線GE的方程為：－a（2k－1）x+y－2a=0②．

從①②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2－2ay=0，

整理得+=1．

當(dāng)a2=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)．

當(dāng)a2≠時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)．

即當(dāng)a2

當(dāng)a2>時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)0，a-，0，a+的距離之和為定值2a．

2． 對(duì)歸納型探索性問題的教學(xué)． 這類問題通常討論的是給出一些特殊情況的結(jié)論，要求推斷出一般的或普遍性結(jié)論的問題． 大多涉及自然數(shù)的數(shù)學(xué)問題，如含自然數(shù)n的等式、不等式、整除問題和有關(guān)的幾何問題等等． 解這類問題的基本策略是從條件出發(fā)通過觀察、試驗(yàn)、分析、比較、歸納、猜想，探索一般規(guī)律；然后對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明． 如果是含自然數(shù)n的命題可采用數(shù)學(xué)歸納法，否則可采用演繹推理的方法．

例2 設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an+1=a－nan+1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）當(dāng)a1=2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出｛an｝的一個(gè)通項(xiàng)公式．

（Ⅱ）當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1有

（?。゛n≥n+2；

（ⅱ）++…+≤．

解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=a－a1+1=3，

由a2=3，得a3=a－2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a－3a3+1=5．

由此猜想｛an｝的一個(gè)通項(xiàng)公式：an=n+1（n≥1）．

（Ⅱ）（?。┯脭?shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3=1+2，不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即ak≥k+2，那么，ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）?（k+2－k）+1≥k+3，也就是說，當(dāng)n＝k+1時(shí)，ak+1≥（k+1）+2．

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有an≥n+2．

（ⅱ）由an+1=an（an－n）+1及（?。?，對(duì)k≥2，有ak=ak-1（ak-1－k+1）+1≥ak-1（k－1+2－k+1）+1=2ak-1+1，

……

所以ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）－1．

于是≤?，k≥2，

≤+=≤≤=．

3． 對(duì)比較型探索性問題的教學(xué)． 對(duì)通常討論的是若干對(duì)象之間的關(guān)系或某些性質(zhì)上的異同問題，經(jīng)常出現(xiàn)的形式是判斷幾個(gè)代數(shù)式或某些數(shù)值的大小，比較幾個(gè)函數(shù)、幾條曲線之間的異同，比較數(shù)列之間的差異． 求解策略視比較而定，對(duì)比較數(shù)、式大小可采用作差、作商、代數(shù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法來處理，從邏輯方法角度考慮可選用綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等． 對(duì)比較幾個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的問題一般先分析所比較數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的特征，然后用類比聯(lián)想法來作出分析和比較，如對(duì)函數(shù)的比較可采用數(shù)形結(jié)合、特殊化等方法．

例3 已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．

（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=loga1+（其中a>0，且a≠1），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論．

本小題主要考查等差數(shù)列基本概念及其通項(xiàng)求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，考查歸納、推理能力以及用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得b1=1，10b1+d=145，

解得b1=1，d=3，所以bn=3n－2．

（Ⅱ）由bn=3n－2，知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+logn1+=loga（1+1）1+…1+，

而logabn+1=loga．

因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較（1+1）1+…1+與 的大小．

取n＝1有（1+1）>，

取n＝2有（1+1）1+>，

……

由此推測(cè)（1+1）1+…1+>①．

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn+1；

當(dāng)0

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．

（?。┊?dāng)n＝1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）1+…1+>，

那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，（1+1）1+…1+1+>?1+=（3k+2）．

因?yàn)椋?k+2）3－［］3==>0，所以（3k+2）>=，因而（1+1）?1+…1+1+>．

這就是說①式當(dāng)n＝k+1時(shí)也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．

由此證得：

當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn+1；

當(dāng)O

4． 對(duì)討論型探索性問題的教學(xué)． 這類問題通常是討論題設(shè)中包含的多種可能的情形或題設(shè)中含有在某一取值范圍內(nèi)變化的參數(shù)，導(dǎo)致探索結(jié)果有多種可能的情形，有時(shí)問題比較隱蔽，常以前三類問題中某一類型的形式出現(xiàn)．解題基本策略是首先發(fā)現(xiàn)題設(shè)包含的多種可能，然后采用分類討論的方法來處理（如例1）．

探索性問題一般以解答題形式出現(xiàn)，但這幾年也出現(xiàn)在選擇題和填空題中，如例4—例6，解題過程略．

例4 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，若注水量V與深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，

圖2

那么水瓶的形狀可能是：（ B ）

例5 如圖3，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時(shí)，有A1CB1D1． （注：寫上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）

圖3

例6 α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面外的兩條不同直線． 給出四個(gè)論斷：

①mn；②αβ；③nβ；④mα．

篇9

數(shù)據(jù)處理能力

數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問題.統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù)，逐漸成為一個(gè)必備常識(shí). 統(tǒng)計(jì)的教學(xué)具有重要的地位，新課標(biāo)高考對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查力度得到加強(qiáng).

數(shù)據(jù)處理能力考查主要表現(xiàn)在： （1）在概率統(tǒng)計(jì)中命制試題，它是把有關(guān)數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計(jì)題綜合在一起，其側(cè)重點(diǎn)在概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí).具體表現(xiàn)在抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體等.（2）在線性回歸分析中命制試題，具體表現(xiàn)在求回歸方程并由此解決其他有關(guān)問題，其側(cè)重點(diǎn)在最小二乘估計(jì). 此類試題有較復(fù)雜的運(yùn)算過程，同時(shí)考查運(yùn)算能力.

例1 （2014年高考山東卷）乒乓球臺(tái)面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域[A，B]，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域[C，D].某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在[C]上記3分，在[D]上記1分，其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在[A]上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在[C]上的概率為[12]，在[D]上的概率為[13]；對(duì)落點(diǎn)在[B]上的來球，小明回球的落點(diǎn)在[C]上的概率為[15]，在[D]上的概率為[35].假設(shè)共有兩次來球且落在[A，B]上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

（1）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；

（2）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

圖1

解析 （1）記[Ai]為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在[A]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

記[Bi]為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在[B]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

記[D]為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.

由題意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的獨(dú)立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）?P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為[310].

（2）由題意知，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6.

由事件的獨(dú)立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得隨機(jī)變量[ξ]的分布列為：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以數(shù)學(xué)期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

應(yīng)用意識(shí)

縱觀近幾年高考試題，高考命題在“用”中必考，問題的設(shè)計(jì)多與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)聯(lián)系. 考查貼近生活、有社會(huì)意義和時(shí)代意義的應(yīng)用題，立意考查“大眾”數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題. 在應(yīng)用題中主要考查閱讀能力、應(yīng)用能力和探究能力，關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸現(xiàn)了學(xué)科綜合的特色，是高考命題的一道亮麗風(fēng)景線，其解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖2，為了保護(hù)河上古橋[OA]，規(guī)劃建一座新橋[BC]，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū). 規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），[tan∠BCO=43].求新橋BC的長(zhǎng)？

[北][東]

圖2 圖3

解析 法1：（兩角差的正切）如圖3，連結(jié)[AC]，由題意知，[tan∠ACO=617]，則由兩角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新橋[BC]的長(zhǎng)度為[150]m.

法2：由題意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直線[BC]的斜率[k=-43]，則直線[BC]所在直線的方程為[y=-43（x-170）]. 又由[ABBC]可知，[AB]所在的直線方程為[y=34x+60]；聯(lián)立方程組[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即點(diǎn)[B（80，120）]，則[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新橋[BC]的長(zhǎng)度為[150]m.

點(diǎn)撥 從考試角度來說，應(yīng)用題主要考查兩個(gè)方面的能力：建立數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“建?！蹦芰Γ?、解決數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“解模”能力）. 從應(yīng)試方法上如何突破呢？首先要系統(tǒng)研究所有可能出現(xiàn)的應(yīng)用題并做到能對(duì)癥下藥，常考查的應(yīng)用題類型有：函數(shù)應(yīng)用題（以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題）、三角測(cè)量應(yīng)用題（以三角函數(shù)的定義為載體的三角應(yīng)用題、以三角函數(shù)的圖象為載體的三角應(yīng)用題、以解三角形為載體的三角應(yīng)用題、以立體幾何為載體的三角應(yīng)用題、以追擊問題為載體的三角應(yīng)用題）、數(shù)列應(yīng)用題、線性規(guī)劃應(yīng)用題、解析幾何應(yīng)用題.

創(chuàng)新意識(shí)

對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查，要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用這些知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中的比較新穎的問題.回顧近年來的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)：關(guān)注探究創(chuàng)新意識(shí)，考查數(shù)學(xué)理性思維，已成為高考命題的一種趨勢(shì).在高考試題中常常通過創(chuàng)設(shè)一些比較新穎的問題情境，構(gòu)造一些具有一定深度和廣度、能體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題，著重考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容.題型主要有：（1）條件探究型，（2）結(jié)論開放型，（3）條件和結(jié)論都發(fā)散型，（4）信息遷移型，（5）存在型，（6）解題策略開放型.

例3 （2014年高考重慶卷）設(shè)[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式；

（2）若[b=-1]，問：是否存在實(shí)數(shù)[c]使得[a2n

解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由題設(shè)條件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

從而{（[an]-1）2}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改寫為[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式.

當(dāng)[n=1]時(shí)，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)[n=k]時(shí)結(jié)論成立，即[ak=k-1]+1，

則[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

這就是說，當(dāng)[n=k+1]時(shí)結(jié)論成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：設(shè)[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題[a2n

當(dāng)[n=1]時(shí)，[a2=f（1）=0]，[a3=f（0）=2]-1，所以[a2]

假設(shè)[n=k]時(shí)結(jié)論成立，即[a2k

易知[f（x）]在（-∞，1]上為減函數(shù)，

從而[c=f（c）>f（a2k+1）>f（1）=a2]，即[1>c>a2k+2>a2].

再由[f（x）]在（-∞，1]上為減函數(shù)，

得[c=f（c）

故[c

綜上，存在[c=14]使[a2n

法二：設(shè)[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

先證：0≤[an]≤1（[n∈N*]）.①

當(dāng)[n=1]時(shí)，結(jié)論明顯成立.

假設(shè)[n=k]時(shí)結(jié)論成立，即[0≤ak≤1].

易知[f（x）]在（-∞，1]上為減函數(shù)，

從而[0=f（1）≤f（ak）≤f（0）=2-1

即[0≤ak+1≤1]. 即當(dāng)[n=k+1]時(shí)結(jié)論成立.故①成立.

再證：[a2n

當(dāng)[n=1]時(shí)，[a2=f（1）=0]，[a3=f（a2）=f（0）=2]-1，

所以[a2

假設(shè)[n=k]時(shí)，結(jié)論成立，即[a2k

由①及[f（x）]在（-∞，1]上為減函數(shù)得，

[a2k+1=f（a2k）>f（a2k+1）=a2k+2，]

[a2（k+1）=f（a2k+1）>f（a2k+2）=a2（k+1）+1.]

即當(dāng)[n=k+1]時(shí)，②成立.

所以②對(duì)一切[n∈N*]成立.

由②得，[a2n

即（[a2n]+1）2

因此[a2n

又由①②及[f（x）]在（-∞，1]上為減函數(shù)得，

[f（a2n）>f（a2n+1），即a2n+1>a2n+2].

所以[a2n+1]>[a22n+1-2a2n+1+2]-1，

解得[a2n+1]>[14]. ④

篇10

關(guān)鍵詞：高三 數(shù)學(xué) 建議

在進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)深刻認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)的成效，取決于學(xué)生在課堂上能產(chǎn)生多少思維量，對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行再加工，要求數(shù)學(xué)教師能夠?qū)⒅R(shí)以全新的面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生能夠產(chǎn)生新的感受，復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)有重點(diǎn)，能夠突出難點(diǎn)，為學(xué)生制定科學(xué)合理的復(fù)習(xí)計(jì)劃，為復(fù)習(xí)工作的順利開展奠定基礎(chǔ)。

一、立足教材，以不變應(yīng)萬變

從近年的高考數(shù)學(xué)趨勢(shì)來看，出題方向仍然堅(jiān)持“新題不難，難題不怪”的思路，有的知識(shí)點(diǎn)看起來在教材中沒出現(xiàn)過，但是經(jīng)過細(xì)心推敲，“一層紙”的距離常常使數(shù)學(xué)教育者恍然大悟，在數(shù)學(xué)教育者和社會(huì)各界的有識(shí)之士的不斷探索之下，對(duì)是高考數(shù)學(xué)的普遍意義有了全新的認(rèn)識(shí)――“注意通性通法，淡化特殊技巧”，為學(xué)生的復(fù)習(xí)道路指明了方向。

例如，數(shù)學(xué)教師在幫助學(xué)生復(fù)習(xí)直線方程帶入圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，可以將直線方程帶入曲線方程，整理成一個(gè)一元二次方程，再將“根的判別式、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)之間的距離公式”等教材中重要的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融合改編成另外一種精彩的試題，其中涵蓋了解析幾何題型的基本方法，也是往年高考的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)研讀教材，從學(xué)科的整體意義上出發(fā)，回歸課本，幫助學(xué)生吃透教材中的例題、經(jīng)典題型。幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的知識(shí)理論體系，以不變應(yīng)萬變。避免死記書本上的例題和理論，重點(diǎn)掌握解析例題過程中，對(duì)例題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行剖析，對(duì)針對(duì)性極強(qiáng)的題型進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，提高復(fù)習(xí)成效。

二、明確復(fù)習(xí)主題，突出復(fù)習(xí)重點(diǎn)

數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)運(yùn)用一雙敏銳的雙眼，深刻剖析近年來數(shù)學(xué)的考試重點(diǎn)，認(rèn)真研究各年的高考題型，明確考試重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)課堂上能夠有針對(duì)性的進(jìn)行復(fù)習(xí)，教師講到位，學(xué)生學(xué)到位，科學(xué)的復(fù)習(xí)計(jì)劃往往起到事半功倍的效果，為學(xué)生的復(fù)習(xí)之路保駕護(hù)航。

（一）例如，復(fù)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)以不等式的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)習(xí)主體，代數(shù)以函數(shù)為主干，不等式與函數(shù)結(jié)合的相關(guān)題型為考試“熱點(diǎn)”

（關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性應(yīng)當(dāng)以具體函數(shù)、和圖像結(jié)合進(jìn)行直觀展開）

1.在復(fù)次函數(shù)與一元二次方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，在內(nèi)容上，應(yīng)當(dāng)以二次函數(shù)的值域含參變量的二次函數(shù)值域?yàn)閺?fù)習(xí)重點(diǎn)；在解題方法上，應(yīng)當(dāng)以配方、換元和不等式為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。另外，與一元二次函數(shù)具有很大聯(lián)系的其方程根的分布、不等式的解法以及二次曲線交點(diǎn)問題等，這些都應(yīng)當(dāng)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中以大量課時(shí)來攻堅(jiān)。

2.在復(fù)習(xí)不等式證明相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列跟函數(shù)與不等式的聯(lián)系一直是考式中的“熱點(diǎn)”，此時(shí)，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行復(fù)習(xí)重點(diǎn)，時(shí)刻跟隨高考的考試基調(diào)，為學(xué)生的復(fù)習(xí)之路點(diǎn)一盞明燈。

3.在復(fù)習(xí)解不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)突出靈活轉(zhuǎn)化和分類分層為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。

（二）數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)以考試重點(diǎn)等比、等差的通項(xiàng)、求和、極限為復(fù)習(xí)重點(diǎn)，關(guān)于難點(diǎn)抽象數(shù)列的復(fù)習(xí)，只要求學(xué)生掌握“歸納―總結(jié)”就可以。

（三）三角函數(shù)的復(fù)習(xí)地位比較尷尬，考試非重點(diǎn)，但難度指數(shù)一直偏高，因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)對(duì)本部分的訓(xùn)練只要求學(xué)生進(jìn)行公式的靈活運(yùn)用即可（三角之間的基本轉(zhuǎn)化）。

（四）復(fù)數(shù)應(yīng)為考試非重點(diǎn)，只要求掌握基本公式，對(duì)例題進(jìn)行訓(xùn)練帶過，難度不做特殊要求。

（五）立體幾何應(yīng)當(dāng)將線段與線段、線與面、面與面的空間位置關(guān)系作為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。幾何體的復(fù)習(xí)以正方體的知識(shí)點(diǎn)為重點(diǎn)，錐形體的復(fù)習(xí)以側(cè)棱或者側(cè)面在地面的投影為復(fù)習(xí)重點(diǎn)；對(duì)于有一定難度的幾何體的結(jié)合體，位置關(guān)系的證明和三垂定理以及逆定理為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。（二面角能夠強(qiáng)化三垂定理的訓(xùn)練）。空間距應(yīng)當(dāng)以點(diǎn)與面之間的距離，線與面之間的距離，面與面之間的距離為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。

（六）另外針對(duì)教材中新增的一些知識(shí)點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、線性規(guī)劃、向量、抽樣方法、期望與方差、概率與統(tǒng)計(jì)）等知識(shí)點(diǎn)，命題形式有個(gè)輕微的變化，選擇題過渡為解答題的前幾步，僅僅只有線性回歸的知識(shí)沒有在考題中遇到過，針對(duì)這樣的命題趨勢(shì)，數(shù)學(xué)教師，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)重視線性回歸的復(fù)習(xí)力度，有備無患。

三、以錯(cuò)補(bǔ)錯(cuò)，不斷完善

復(fù)習(xí)過程中不難發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)于易錯(cuò)的題型總是一錯(cuò)再錯(cuò)，教師當(dāng)時(shí)的講解過后不能鞏固理解，有些學(xué)生只重視做題的數(shù)量，采用題海戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，錯(cuò)題得不到及時(shí)的思考與分析就被扔到一邊，針對(duì)這一現(xiàn)象，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在復(fù)習(xí)課堂上注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題，難題進(jìn)行深入探究，從而發(fā)現(xiàn)自己的不足，吃一塹，長(zhǎng)一智，避免再犯類似的錯(cuò)誤。

例如，數(shù)學(xué)教師可以要求每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)記錯(cuò)本，當(dāng)遇到易錯(cuò)題型的時(shí)候，隨手記錄在錯(cuò)題本上，數(shù)學(xué)教師可以將學(xué)生的記錯(cuò)本定期收繳，掌握學(xué)生的掌握狀況，因材施教，出現(xiàn)問題的時(shí)候能夠具體問題，具體對(duì)待，宏觀掌控學(xué)生的復(fù)習(xí)基調(diào)，為學(xué)生制定切實(shí)可行的應(yīng)對(duì)策略。在無數(shù)次錯(cuò)誤中總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)，不斷完善學(xué)生的解題技巧，面對(duì)錯(cuò)題本上的涂鴉，幫學(xué)生將壓力變成動(dòng)力，激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行在復(fù)習(xí)之路上勇敢前行，為高考取得一個(gè)好成績(jī)打下基礎(chǔ)。

總之，高三這個(gè)特殊的時(shí)期，學(xué)生任罩兀心里壓力大，數(shù)學(xué)教師的壓力也很大。但是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)理性的看待這一時(shí)期，認(rèn)真剖析歷年的命題形式、以及考試熱點(diǎn)，幫助學(xué)生制定出更清晰、完善的復(fù)習(xí)計(jì)劃，有針對(duì)性的進(jìn)行復(fù)習(xí)，不盲從。避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，復(fù)習(xí)有重點(diǎn)，突出難點(diǎn)，錯(cuò)題本的巧妙利用，能夠作為學(xué)生的后備力量，成為學(xué)生的復(fù)習(xí)之路奠基石，有利于學(xué)生在高考中能夠取得優(yōu)異的成績(jī)。

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