導(dǎo)語(yǔ)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)的試驗(yàn)一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：本文從直覺(jué)思維談起，分析了直覺(jué)思維的特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的幾種存在形式，同時(shí)談到了直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義，并從實(shí)踐的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)分析了如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和各方面的品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育、直覺(jué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，特別是要培養(yǎng)學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)思維的能力是多方面的，其中最重要的是創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，而直覺(jué)思維又是創(chuàng)造性思維乃至數(shù)學(xué)思維里面的一個(gè)重要內(nèi)容，所以需要我們給予適當(dāng)?shù)闹匾暋?/p>

直覺(jué)思維通常是指人腦對(duì)客觀世界及其相互關(guān)系的一種非直接的認(rèn)識(shí)、分辨或猜想的心理狀態(tài)，是一種間接的心理反應(yīng)（張俊、羅馥，2002）。直覺(jué)作為一種很普遍的心理現(xiàn)象存在于人們的日常生活、學(xué)習(xí)和研究之中。很多人都承認(rèn)直覺(jué)的存在，但是由于目前我們對(duì)于直覺(jué)的認(rèn)識(shí)還非常有限，所以我們還只能從直覺(jué)思維的一些表現(xiàn)特點(diǎn)上來(lái)認(rèn)識(shí)它。

直覺(jué)思維概括起來(lái)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：第一，直覺(jué)思維具有直接性。這里的“直接”是指在沒(méi)有經(jīng)過(guò)詳細(xì)分析和推理下，直接獲得的結(jié)果。某些時(shí)候直覺(jué)似乎沒(méi)有表現(xiàn)出連貫的邏輯，而是表現(xiàn)出中斷的邏輯，然而在斷裂的背后卻是理性思維的“凝煉”。第二，直覺(jué)思維具有迅速性。直覺(jué)出現(xiàn)的速度是非?？斓?，多數(shù)時(shí)候都是一閃而過(guò)，這種瞬間的辨別和判斷是憑借大腦中積累的大量知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)生作用，所產(chǎn)生的一種結(jié)果。（王秀泉，2001）第三，直覺(jué)過(guò)程似乎是無(wú)須努力而自己完成的。直覺(jué)的過(guò)程往往具有很強(qiáng)的個(gè)體性，而且很難用言語(yǔ)清楚地表達(dá)出來(lái)，因而也很難被他人理解和研究。

在數(shù)學(xué)里面，直覺(jué)思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象，其思維的主體是根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其規(guī)律性關(guān)系的迅速的識(shí)別、直接的理解、綜合的判斷與想象的過(guò)程。與分析思維相比較，直覺(jué)思維很少會(huì)有清晰的和確定的步驟，它更傾向于通過(guò)對(duì)整體問(wèn)題的理解為基礎(chǔ)進(jìn)行思維，隨后通過(guò)聯(lián)想、猜想等直覺(jué)的判斷方法先獲得問(wèn)題的答案或者進(jìn)行求解的過(guò)程。這無(wú)疑會(huì)激發(fā)人們對(duì)已有的答案用分析的手段進(jìn)行歸納和演繹，從而對(duì)所得到的結(jié)論加以檢驗(yàn)。歷史上的數(shù)學(xué)家無(wú)一不肯定“邏輯是證明的工具，而直覺(jué)是創(chuàng)造的工具”這一偉大想法。

談到數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的基本形式，大體上有這樣幾種：第一，直覺(jué)觀念。我們?cè)谘芯磕骋粩?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，即使沒(méi)有紙和筆，腦子里也會(huì)構(gòu)思起生動(dòng)直觀的模型或形象，表現(xiàn)為圖形、文字、符號(hào)等。這種以數(shù)學(xué)模型、空間圖形作為想象載體進(jìn)行直覺(jué)思維的形式，我們稱其為直覺(jué)觀念。第二，直覺(jué)推理。直覺(jué)觀念開(kāi)始建立時(shí)只是簡(jiǎn)單的、單個(gè)的，而不足以對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思維，多個(gè)直覺(jué)觀念按照一定的秩序聯(lián)接、變換之后就會(huì)形成一定的結(jié)構(gòu)，從而可以逐步接近要認(rèn)識(shí)的對(duì)象。這一過(guò)程不同于邏輯思維的進(jìn)行方式，它是由想象力牽引著前進(jìn)同時(shí)又起著與邏輯推理類似的作用，因此我們通常把由想象聯(lián)接直覺(jué)觀念的運(yùn)動(dòng)過(guò)程稱為直覺(jué)推理。第三，直覺(jué)判斷。直覺(jué)判斷是人腦對(duì)于客觀存在的實(shí)體、現(xiàn)象、符號(hào)及其表征的相互關(guān)系的一種迅速的識(shí)別或直接的理解。數(shù)學(xué)直覺(jué)判斷常常在學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)。例如，題目剛一出現(xiàn)，老師還沒(méi)有解釋完畢，學(xué)生就說(shuō)懂了，就是因?yàn)榻Y(jié)論已被直覺(jué)地判斷出來(lái)。非歐氏幾何的誕生正是羅巴切夫斯基和黎曼具有這種整體的直覺(jué)判斷能力的偉大成果。第四，直覺(jué)啟發(fā)。數(shù)學(xué)家沉思于某一問(wèn)題，還沒(méi)有在頭腦中搜索到固有的模式，而在某種外部信息的刺激下，由于聯(lián)想而使問(wèn)題豁然貫通，稱之為直覺(jué)啟發(fā)，也就是我們常說(shuō)的“靈感”。數(shù)學(xué)直覺(jué)思維中的直覺(jué)觀念、推理、判斷和靈感是難以截然分開(kāi)的，它們常常結(jié)合于一個(gè)統(tǒng)一的思維過(guò)程中。

直覺(jué)思維的培養(yǎng)對(duì)全面提高學(xué)生思維能力，特別是創(chuàng)造性思維發(fā)展有重大的推動(dòng)作用。隨著教育觀念的不斷深化，作為創(chuàng)造性思維的重要組成部分，直覺(jué)思維越來(lái)越被人們所注重。直覺(jué)思維是人類基本的思維形式之一，它是對(duì)于一些現(xiàn)象或事物，在未經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯程序之前，直接地認(rèn)識(shí)到其內(nèi)在本質(zhì)或規(guī)律的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)直覺(jué)是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的和諧與關(guān)系的直接洞察或頓悟，是一種敏銳的想象和迅速的判斷，是突發(fā)性的也是科學(xué)的。數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)往往在最開(kāi)始是直覺(jué)性的而非邏輯性的，例如牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力，法拉第發(fā)現(xiàn)磁力線與磁場(chǎng)等等。同樣，直覺(jué)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用，怎樣才能有效地培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)呢？我們雖然尚未完全明白直覺(jué)的心理和生理機(jī)制，只是從外部特征上有一些描繪性的認(rèn)識(shí)，但我們并不能因此而放棄對(duì)學(xué)生直覺(jué)思維的培養(yǎng)。在教學(xué)工作中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握這種天賦。直覺(jué)是人憑借自身的經(jīng)驗(yàn)和信息而產(chǎn)生的一種心智活動(dòng)，它不像邏輯思維那樣有完善的架構(gòu)和模式，因此直覺(jué)的培養(yǎng)更需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景、及時(shí)把握時(shí)機(jī)進(jìn)行啟發(fā)和誘導(dǎo)。在日常教學(xué)活動(dòng)中，我們可適當(dāng)改變純演繹的教學(xué)方式加以引導(dǎo)。結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，我想談?wù)剬?duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和做法。

一、打好基礎(chǔ)、優(yōu)化思維、培養(yǎng)意志

雖然數(shù)學(xué)直覺(jué)的產(chǎn)生具有突發(fā)性和不可預(yù)期性，但實(shí)踐表明具有良好直覺(jué)思維的人一定是具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，在努力探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，突然爆發(fā)出來(lái)的如同閃電那樣的靈感會(huì)瞬間出現(xiàn)在他的腦海中，于是疑團(tuán)一下子被解開(kāi)了。同時(shí)，數(shù)學(xué)直覺(jué)的漲力是可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中逐步成長(zhǎng)起來(lái)的，其中特別重要的一環(huán)是：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中要當(dāng)達(dá)到“真懂”或“徹悟”的境界。由此可見(jiàn)，具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、富于探索精神和渴望解決問(wèn)題的頑強(qiáng)意志，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺(jué)的必要條件。所以，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該善于啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解所學(xué)的知識(shí)，并能熟練地掌握數(shù)學(xué)的基本方法和基本技能，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)達(dá)到“真懂”的地步。

二、依據(jù)直覺(jué)特征、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境、培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)。

數(shù)學(xué)直覺(jué)是一種不包括普通邏輯推理過(guò)程的直接悟性，所以它的思維方式是有其特別之處的。只要我們根據(jù)它的特點(diǎn)，并且結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練，同時(shí)做到堅(jiān)持不懈，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)一定會(huì)被逐步培養(yǎng)起來(lái)。培養(yǎng)直覺(jué)思維，我們還要從數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程入手證明問(wèn)題?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材都是經(jīng)過(guò)邏輯加工好的數(shù)學(xué)形式，定理的證明以及公式的推導(dǎo)一般都是按照編排好的邏輯演繹方式進(jìn)行講授。其實(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)與其它人類知識(shí)一樣，它們的發(fā)現(xiàn)也是經(jīng)過(guò)反復(fù)的猜測(cè)和論證才獲得的。在證明問(wèn)題前，老師如果能先將數(shù)學(xué)結(jié)論獲得前的推測(cè)簡(jiǎn)要地重現(xiàn)給學(xué)生，或者將自己對(duì)結(jié)論的猜測(cè)告訴學(xué)生，又或者創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生去猜測(cè)、提出疑問(wèn)等引導(dǎo)學(xué)生探索“發(fā)現(xiàn)”結(jié)論將有助于開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)。如此通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索、大膽地去猜測(cè)、不斷提出疑問(wèn)而最終發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這一過(guò)程將有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

1、根據(jù)直覺(jué)思維考察問(wèn)題，還要重視各個(gè)元素之間的聯(lián)系以及系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向并選取數(shù)學(xué)問(wèn)題供學(xué)生訓(xùn)練，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)去猜想、發(fā)現(xiàn)、最后論證。

例一、橢圓的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。

分析：點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)、要使利用直覺(jué)，首先想到當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的位置哪里呢？又根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)P又在以F1F2為直徑的圓周上，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為圓和橢圓的交點(diǎn)，由對(duì)稱性有。

2、鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，使學(xué)生學(xué)會(huì)猜想。

獲得直覺(jué)的過(guò)程須經(jīng)歷一個(gè)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，然后逐步提高深化發(fā)生“頓悟”，進(jìn)而產(chǎn)生直覺(jué)。對(duì)某類事物的部分對(duì)象進(jìn)行考查，從中尋找可能存在的規(guī)律，將這種認(rèn)識(shí)加以推廣形成一般性的結(jié)論，即對(duì)這類事物的某種猜測(cè)。不論這個(gè)結(jié)論正確與否，我們對(duì)這類事物的認(rèn)識(shí)都前進(jìn)了一步，許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，如勾股定理、二項(xiàng)展開(kāi)式、楊輝三角形和歐拉公式等都是在觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)猜想得到的。因此，猜想在培養(yǎng)直覺(jué)思維方面功不可沒(méi)。想象是根據(jù)頭腦里已有的表象，經(jīng)過(guò)思維加工、改造，從而形成新形象的心理過(guò)程，想象無(wú)拘無(wú)束，易于產(chǎn)生創(chuàng)造性的突破。獲得直覺(jué)更大程度上依賴于想象，而相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征往往孕育著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征。由條件或結(jié)論的外表形象與結(jié)構(gòu)特征,想到熟知的定義、定理、公式和圖形，從而直覺(jué)解題的途徑。

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對(duì)未知量及其關(guān)系的推斷，是一種探索性思維，它與數(shù)學(xué)直覺(jué)有密切關(guān)系。牛頓認(rèn)為：沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。波利亞說(shuō)：“先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道”；“預(yù)見(jiàn)結(jié)論，途徑便可以有的放矢”。所以，加強(qiáng)數(shù)學(xué)猜想的訓(xùn)練對(duì)提高學(xué)生的直覺(jué)思維能力是十分有益的。因此，在給學(xué)生分析實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，老師不妨向?qū)W生剖析自己的解題心理，曾經(jīng)對(duì)問(wèn)題所作的猜測(cè)，以此開(kāi)啟學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生憑敏銳的直覺(jué)、深刻的洞察力進(jìn)行大膽猜測(cè)。

例二在等差數(shù)列{an}中若a10=0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立（n∈N,n<19），類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有_____________。

分析：利用直覺(jué)，注意到在等差數(shù)列中“和差”，在等比數(shù)列是“積商”。所以猜想所求等式為b1?b2?…?bn=b1?b2?…?bx，如何確定x呢？由a10=a1+9d=0，10+9=19，b9=b1?q8=1，9+8=17，所以x=17–n。

所以所求等式為b1?b2?…bn=b1?b2?…b17–n(n∈N,n<17)。

3、由于數(shù)學(xué)直覺(jué)的產(chǎn)生是自發(fā)的，是想象出來(lái)的瞬間推斷，所以豐富學(xué)生的想象、擴(kuò)展學(xué)生的視野同時(shí)開(kāi)拓他們的思維空間也是相當(dāng)重要的一環(huán)。同時(shí)還要做到聯(lián)系實(shí)際生活、實(shí)際生產(chǎn)以及聯(lián)系數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域中的各種應(yīng)用，這樣才能在關(guān)鍵的時(shí)候有靈感的閃現(xiàn)。

例三，從地面以6m/秒的初速度將物體豎直上拋、物體掉四地面碰撞后速度變?yōu)樵瓉?lái)的反彈，求該物體運(yùn)動(dòng)的總路程（不計(jì)空氣阻力）

分析：由物理知識(shí)有

4、正確處理數(shù)學(xué)直覺(jué)與邏輯思維的關(guān)系。

直覺(jué)思維與邏輯思維兩者之間是相輔相成的關(guān)系，如前所述，沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)的直覺(jué)是不可能憑空產(chǎn)生的。但是，如果僅有嚴(yán)格的邏輯思維而沒(méi)有直覺(jué)思維的能力，在實(shí)際研究問(wèn)題時(shí)，尤其是遇到新的知識(shí)時(shí)，就會(huì)缺乏預(yù)見(jiàn)的能力從而缺乏開(kāi)拓性和創(chuàng)新性，也就難有新的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造產(chǎn)生。但是，由直覺(jué)獲得的東西有時(shí)是真的，有時(shí)卻是假的，不可能獲得百分之百的保證。所以，凡是直覺(jué)獲得的真實(shí)結(jié)論最終是可以用邏輯推理的方法進(jìn)行證明的，而非真實(shí)的結(jié)論則會(huì)得到證偽。因此，我們?cè)谧⒁馀囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)能力的同時(shí)，還應(yīng)該重視邏輯思維的訓(xùn)練。既要教給學(xué)生如何猜想，又要教會(huì)學(xué)生怎樣證明，只有這樣才能得出科學(xué)的結(jié)論。

例四，已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有（）

A．1條；B．2條；C．3條；D．4條

分析：由異面直線所成角的概念。經(jīng)過(guò)平移變換如圖。利用直覺(jué)、猜想答案是選B，為什么呢？由直觀與想象過(guò)點(diǎn)P的直線L與直線a’，b’的夾角發(fā)生變化，則L與平面α，則射影PO是a’，b’夾角的平分線，即∠OPE=25°。

如圖：由余弦積定理得cos∠MPE=cos∠MPO?cos25°，因?yàn)椤螹PO是過(guò)點(diǎn)P的直線L與平面α所成的角，由0<cos∠MPO<1，∴cos∠MPE<cos25°，∴∠MPE>cos25°，由此得出過(guò)點(diǎn)P引直線L與a’、b’成等角，則該角應(yīng)大于a’、b’所夾角的一半。若設(shè)L與直線a、b所成的角都是θ，則：

當(dāng)θ=25°時(shí)有且僅有1條。

當(dāng)θ∈（25°，65°）時(shí)有且僅有2條。

當(dāng)θ=65°時(shí)有且僅有3條。

當(dāng)θ∈（65°，90°）時(shí)有且僅有4條。